Fermionant 及常宽 Immanant 的复杂度

在统计物理背景下，Chandrasekharan 和 Wiese 最近引入了\emph{fermionant} $\Ferm_k$，这是一种类似行列式的量，其中每个排列 $\pi$ 的权重为 $-k$ 的 $\pi$ 中循环个数的幂。我们证明，对于任何常数 $k > 2$，计算 $\Ferm_k$ 在 Turing 归约下是 #P-难的；对于 $k=2$，即使是平面图的邻接矩阵，计算也是 $\oplusP$-难的。因此，除非多项式层级坍缩，否则不可能在多项式时间内将 immanant $\Imm_\lambda \,A$ 计算为杨图 $\lambda$ 的函数，即使限制 $\lambda$ 的宽度至多为 2。特别地，如果 $\Ferm_2$ 属于 P，或者对于所有宽度为 2 的 $\lambda$，$\Imm_\lambda$ 属于 P，则 $\NP \subseteq \RP$，并且存在针对 NP 完全问题的随机多项式时间算法。