破碎样本问题重访：Bai-Hsing 猜想的证明与高维推广

我们重访经典的破碎样本问题：观察到两组独立同分布的数据点 $\mathbf{X}=\{X_1,\cdots, X_n\}$ 和 $\mathbf{Y}=\{Y_1,\cdots,Y_m\}$，且两组数据之间无对应关系，且 $m\leq n$。在原假设下，$\mathbf{X}$ 和 $\mathbf{Y}$ 相互独立；在备择假设下，$\mathbf{Y}$ 与$\mathbf{X}$ 的随机子样本相关，即 $(X_{\pi(i)},Y_i)$'s 来自某个双变量分布，用于潜在映射 $\pi:[m] \to [n]$。该问题最初由 DeGroot、Feder 和 Goel (1971) 提出，用于建模人口普查数据中的匹配记录，近期因其在数据去识别、数据集成和目标跟踪中的应用而重新受到关注。尽管已经历数十年的广泛研究，但即使在样本量相等（$m=n$）的情况下，确定精确检测阈值仍是开放问题。我们假设 $m$ 和 $n$ 按比例增长，表明检测阈值的精确值由似然比算子的谱条件和 $L_2$ 条件决定，正式解决了 Bai 和 Hsing (2005) 的猜想。这些结果推广到高维情形，解决了高斯和伯努利模型的精确检测阈值。