增强混合方法：通过列更新计算大规模半正定规划的高精度 primal-dual 解
最优化与控制
2025-07-29 v1
摘要
Burer-Monteiro 分解已成为求解大规模半正定规划 (SDP) 的强大工具，使最近发展的低秩求解器能够处理此前超出范围内的问题。然而，现有方法通常以可扩展性为优先，而牺牲解的精度。我们引入增强混合方法，这是一种新算法，将 Burer-Monteiro 分解与不完全增广拉格朗日框架和块坐标下降方案相结合。我们的方法强调高效且精确地求解 resulting subproblems。直接处理不等式约束，无需重新表述或引入松弛变量。一种新颖的惩罚参数动态更新策略确保 primal 和 dual 可行性进步保持平衡。这种方法使我们能够计算出即使在拥有超过一千万个不等式约束的大规模 SDP 中，也能得到高度准确的 primal-dual 解。尽管缺乏理论收敛保证，增强混合方法在实际应用中表现出色，无需调整参数即可跨越广泛的 SDP 实例。它通常产生比最先进的内点方法更准确的 primal-dual 解，并且扩展性显著更好。我们的开源 Julia 实现在内存效率、可定制性和支持任意精度算术方面都表现出色。
引用
@article{arxiv.2507.20386,
title = {The Augmented Mixing Method: Computing High-Accuracy Primal-Dual Solutions to Large-Scale SDPs via Column Updates},
author = {Daniel Brosch and Jan Schwiddessen and Angelika Wiegele},
journal= {arXiv preprint arXiv:2507.20386},
year = {2025}
}