三维希尔伯特空间 Kochen-Specker 集的代数景观

我们对三维希尔伯特空间中 Kochen-Specker (KS) 不可染色性进行了计算调查，涉及来自二符号坐标字母 $\mathcal{A} = \{0, \pm 1, \pm x\}$ 的 Gabor 系统，这些字母来源于二次、循环伽玛和黄金比数域。在我们测试的每个原始字母(在叉积完成之前)中，仅当 $x$ 支持两种取消机制之一时才会出现 KS 集：模 2 取消 (生成器满足 $|x|^2 = 2$，如 $|\sqrt{2}|^2=2$, $|\sqrt{-2}|^2=2$, 或 $|\alpha|^2=2$；整数情况 $1+1=2$ 是退化的加法实例)或相位取消 (单位模项求和为零，如 $1+\omega+\omega^2=0$)。我们调查中未发现字母中生成器的 $|x|^2 \geq 3$ 且非二次根单位时产生正交三元组但不产生 KS-不可染色。这种经验模式解释了为何构造在测试的字段中聚集为至少六个离散代数岛屿(在更高成本下确认了第七个三进制岛屿)。其中两个可能产生新的 KS 图类型：Heegner-7 环 $\mathbb{Z}[(1+\sqrt{-7})/2]$ (43 个向量)和黄金比字段 $\mathbb{Q}(\varphi)$ (52 个向量，通过叉积完成揭示)；$\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ 提供了一种已知 Peres 类型图的新的代数实现。使用基于 SAT 的二分图 KS-不可染色，我们验证了 Trandafir 和 Cabello 对于三个岛屿的输入计数(精确)并为其他三个岛屿建立上限。黄金比岛屿是一种边界情况：其原始字母既不满足上述两种机制，但叉积完成引入有效的模 2 取消。两种机制模式是否延伸至所有数域仍是一个未解决的问题。