用于强凸强凹鞍点问题与强单调变分不等式的张量方法

本文针对 $\mu$-强凸强凹鞍点问题（SPP）提出三种 $p$ 阶张量方法。第一种方法基于目标函数 $p$ 阶光滑性的假设，达到 $O \left( \left( \frac{L_p R^{p - 1}}{\mu} \right)^\frac{2}{p + 1} \log \frac{\mu R^2}{\varepsilon_G} \right)$ 的收敛速率，其中 $R$ 为到解的初距估计，$\varepsilon_G$ 为对偶间隙意义上的误差。在目标函数一阶与二阶光滑性的附加假设下，我们将第一种方法与局部超线性收敛算法相联系，并发展出第二种方法，其复杂度为 $O \left( \left( \frac{L_p R^{p - 1}}{\mu} \right)^\frac{2}{p + 1}\log \frac{L_2 R \max \left\{ 1, \frac{L_1}{\mu} \right\}}{\mu} + \log \frac{\log \frac{L_1^3}{2 \mu^2 \varepsilon_G}}{\log \frac{L_1 L_2}{\mu^2}} \right)$。第三种方法是第二种方法的改进版本，以 $\tilde O \left( \left( \frac{L_p R^p}{\varepsilon_\nabla} \right)^\frac{2}{p + 1} \right)$ 次预言机调用解决梯度范数最小化 SPP，其中 $\varepsilon_\nabla$ 为目标函数梯度范数意义上的误差。由于我们将 SPP 视为变分不等式的特例，我们也提出三种用于强单调变分不等式的方法，其复杂度与上述相同。