Tannenbaum的增益裕度优化与Polyak的重球算法相遇

本文强调了优化理论中的算法设计与鲁棒控制中的控制器综合之间一个明显但相对鲜为人知的联系。具体而言，二次优化可以重新表述为$\mathcal{H}_\infty$控制框架内的一个调节问题。从这个角度来看，Polyak最快重球算法的最优性可以被确定为增益裕度优化问题的解。该方法独立于Polyak原始且出色的论证，并依赖于Tannenbaum的基础性工作，他通过Nevanlinna–Pick插值理论引入并解决了增益裕度优化问题。一阶优化方法与鲁棒控制之间的联系为这类方法的算法性能极限提供了新的见解，并提出了一个框架，在该框架中可以系统地研究类似的计算任务并优化算法。特别地，它提出了一个问题：周期性调度算法是否能够实现更快的二次优化速率，其方式类似于通过周期控制将增益裕度扩展到时不变控制之外。由于因果方案中固有的传输零点的解析障碍，事实证明情况并非如此。有趣的是，这种障碍可以通过隐式算法消除，该算法被表述为具有因果但非严格因果动力学的反馈调节问题，从而避免了无穷远处的传输零点，并能够实现更优的收敛速度。