o-极小结构的 T-凸性、弱立即类型与 T-λ-球完备化

众所周知,具有相容非平凡赋值的有序指数域不能是球完备的,但有些是“足够完备的”。本文给出了Kaplansky关于极大值域定理的类比,该定理适用于某些带有相容赋值的有序指数域的一类合适的基本扩张。更准确地说,它适用于任何理论$T_{\text{convex}}$的模型,该理论通过一个谓词$\mathcal{O}$(表示一个非平凡的$T$-凸赋值环)扩张一个固定的完备o-极小有序域理论$T$而得到。对于不可数基数$\lambda$,称$T_{\text{convex}}$模型上的一个一元类型$p(x)$为\emph{$\lambda$-有界弱立即}的,如果其割由少于$\lambda$个嵌套赋值球的空交集定义。称一个基本扩张为\emph{$\lambda$-有界wim-可构造}的,如果它是由一系列扩张的超越复合得到的,其中每个扩张由一个其类型是$\lambda$-有界弱立即的元素生成。我证明$\lambda$-有界wim-可构造扩张不扩展剩余域类,并且任意两个wim-可构造扩张可以融合在一个扩张中,该扩张对两者都是$\lambda$-有界wim-可构造的。由此得出的一个推论是,给定一个不可数基数$\lambda$,$T_{\text{convex}}$的每个模型都有一个在同构意义下唯一的$\lambda$-球完备的$\lambda$-有界wim-可构造扩张,提供了Kaplansky定理的一个类比。我称这个扩张为$T$-$\lambda$-球完备化。另一个推论是$T_{\mathrm{convex}}$是\emph{可定义球完备}的。当$T$是幂有界时,wim-可构造扩张就是立即扩张。我讨论了由$\exp$扩张的幂有界理论(\emph{单指数}理论)的例子。