基于辛几何的逻辑 Clifford 算子综合

量子纠错码可用于保护参与量子计算的量子比特。这要求将作用于受保护量子比特的逻辑算子转化为作用于物理量子态的物理算子（电路）。我们提出了一个数学框架，用于综合实现稳定子码逻辑 Clifford 算子的物理电路。电路综合是通过将 $\mathbb{C}^{N \times N}$ 中所需的物理 Clifford 算子表示为一个 $2m \times 2m$ 的部分二进制辛矩阵来实现的，其中 $N = 2^m$。我们陈述并证明了两个定理，这些定理利用辛平移高效地枚举满足线性方程组的所有辛矩阵。作为这些结果的一个重要推论，我们证明了对于 $[\![ m,m-k ]\!]$ 稳定子码，每个逻辑 Clifford 算子有 $2^{k(k+1)/2}$ 个辛解。然后，通过将每个解分解为基本辛矩阵的乘积，获得所需的物理电路。我们对可能物理实现的组装使得能够根据合适的度量对其进行优化。此外，我们证明了任何使码的稳定子正规化的电路都可以转化为使稳定子中心化的电路，同时实现相同的逻辑操作。我们的电路综合方法可应用于任何稳定子码，本文提供了 $[\![ 6,4,2 ]\!]$ CSS 码通用 Clifford 门的综合概念验证。最后，我们以经典编码理论的视角讨论了 CSS 码逻辑 Pauli 算子的构造。由于我们的电路综合算法建立在码的逻辑 Pauli 算子之上，本文提供了一个构造 CSS 码所有逻辑 Clifford 算子的完整框架。实现我们算法的程序可在 https://github.com/nrenga/symplectic-arxiv18a 找到。