粘合拓扑斯与晶状拓扑斯的语法呈现

我们将由拓扑斯分类的几何理论视为该拓扑斯的一种语法呈现，并开发用于寻找此类呈现的工具。几何理论的扩张可添加公理、符号与排序，我们将其作为独立对象处理，以便从各部分构建复杂理论。我们研究了等价扩张的作用，其在 Morita 等价意义下保持理论不变。受非仿射概型的大 Zariski 拓扑斯所分类者为何这一问题的启发，我们展示了若在给定开子拓扑斯覆盖族各成员的语法呈现时，如何构造该拓扑斯的语法呈现。为此，我们引入条件理论扩张，其仅在某些以闭几何公式给出的条件下才要求模型所含的部分数据。我们还给出了相互依赖理论扩张系统的通用定义，以便能够讨论不仅针对给定覆盖中开子拓扑斯、也针对其有限交的兼容语法呈现。在具体情境中寻找拓扑斯所分类理论的一个重要概念是预层型理论。我们开发了若干在保持预层型性质的同时扩张理论的技术，并给出可破坏该性质的一些简单扩张示例列表。最后，我们确定了概型的大晶状拓扑斯的语法呈现。在仿射概型情形下，通过证明所分类理论的最大部分为预层型，并将定义晶状拓扑斯的站点转化为该理论的规范预层站点，而其余公理诱导 Zariski 拓扑，得以完成。随后我们可应用关于粘合分类拓扑斯的结果，即便在非仿射情形下也获得分类理论。