Johnson 结合方案中的同步与分离

近期，Peter Keevash 通过证明只要参数满足必要的整除条件且 $n$ 相对于 $k$ 和 $t$ 足够大，$S(t,k,n)$ 就存在，从而渐近地解决了 Steiner 系统的存在性问题。本文旨在提出一个猜想，若该猜想成立，将是 Keevash 定理的重要推广，并为该猜想提供一些理论与计算证据。我们结合方案中的同步与分离概念（本文在此定义）来表述该猜想。这些定义基于置换群的相关定义，后者源于有限自动机中的同步理论。在该理论中，定义了介于本原群与 $2$-齐次群之间的两类置换群（分别称为同步群与分离群）。一个重大的开放性问题是，$S_n$ 在 $\{1,\ldots,n\}$ 的 $k$-子集上诱导的置换群在该层级中处于何种位置；我们的猜想将在 $n$ 相对于 $k$ 足够大时给出该问题的解。我们证明了 $k=4$ 时的猜想：我们的结果断言，$S_n$ 作用于 $4$-集合时对于 $n\ge10$ 是分离的（在 $n=9$ 时未能同步）。