持续空间复杂度

内存困难函数(MHF)是指评估代价主要由内存代价主导的函数。MHF 是平等主义的，即在专用硬件（如 FPGA 或 ASIC）上评估它们并不比在现成硬件（如 x86 CPU）上便宜多少。MHF 具有有趣的密码学应用，最著名的是密码哈希和保护区块链。Alwen 与 Serbinenko [STOC'15] 将函数的累积内存复杂度(cmc)定义为计算该函数所需内存量之和（在所有时间步上）。他们认为好的 MHF 必须具有高 cmc。与先前概念不同，cmc 考虑到了专用硬件可能利用摊销与并行。尽管如此，cmc 被批评为不充分，因为它未能捕捉可能的时间-内存折衷，因为内存代价并非线性缩放，具有相同 cmc 的函数仍可能具有非常不同的实际硬件代价。在本工作中，我们解决该问题，并引入持续内存复杂度(sustained-memory complexity)的概念，其要求任何评估该函数的算法必须在许多步中使用大量内存。我们构造了（在并行随机预言机模型中）持续内存复杂度近乎最优的函数：我们的函数可使用 $n$ 步和 $O(n/\log(n))$ 内存来评估，每步对（固定输入长度）随机预言机进行一次查询，而任何可对随机预言机进行任意多次并行查询的算法，仍需要 $\Omega(n/\log(n))$ 内存达 $\Omega(n)$ 步。我们的主要技术贡献是构造了一族在 $n$ 个节点上且具有常数入度并带有高“持续空间复杂度”的 DAG，意味着任何并行黑卵石策略至少需要 $\Omega(n/\log(n))$ 个卵石持续至少 $\Omega(n)$ 步。