流形上Poincaré不等式的替代函数用于结构化的非线性特征空间中的维度约化

本文关注以高维输入的连续可微函数近似的问题，旨在将其近似为由两函数组成的嵌套：一种从输入空间提取少数特征的特征映射，以及以这些特征作为低维输入的逼近目标函数的概要函数。我们聚焦于构建结构化的非线性特征映射，这些映射从输入的独立变量组中提取特征，利用一种最近引入的基于梯度的方法，该方法利用非线性流形上的Poincaré不等式。该方法由最小化非凸损失函数构成，这在样本数较小时尤其具有挑战性。我们首先研究集合情境，在此情境下构建适用于一参数族高维函数的特征映射。在此情境下，我们引入一种新的二次拟合函数，用于近似非凸损失函数，并给出上界。随后我们研究分组情境，在此情境下为独立的变量组构建独立的特征映射，并证明该情境几乎等价于每个变量组的一个集合情境。