带平移的立方和

设 $\mu_1, \ldots, \mu_s$ 为实数，其中 $\mu_1$ 为无理数。我们研究平移立方和 $F(x_1,\ldots,x_s) = (x_1 - \mu_1)^3 + \ldots + (x_s - \mu_s)^3$。我们证明，若 $\eta$ 为实数，$\tau >0$ 充分大，且 $s \ge 9$，则存在整数 $x_1 > \mu_1, \ldots, x_s > \mu_s$ 使得 $|F(\mathbf{x})- \tau| < \eta$。这是 Waring 问题的实数类比。随后，我们对 $s \ge 5$ 证明了同类型的满密度结果。对于 $s \ge 11$，我们给出了一个渐近公式。若 $s \ge 6$，则 $F(\mathbf{Z}^s)$ 在实数集上稠密。给定九个变量，我们可以将其推广至单变量三次多项式之和。