估计一般度量下MST与TSP代价的亚线性算法及下界

我们考虑设计亚线性空间与查询复杂度算法，用于估计$n$个点上度量的最小生成树（MST）代价和最小旅行商（TSP）巡回代价。我们首先考虑$o(n)$空间 regime，并表明当输入为度量的所有$\binom{n}{2}$个条目的流时，对于任意$\alpha \ge 2$，MST和TSP代价均可使用$\tilde{O}(n/\alpha)$空间进行$\alpha$-近似，且此任务所需空间为$\Omega(n/\alpha^2)$。此外，我们表明即使流式算法允许对度量流进行$p$遍处理，仍需要$\tilde{\Omega}(\sqrt{n/\alpha p^2})$空间。接下来我们考虑半流式 regime，其中即使计算精确的MST代价也很容易，主要挑战是将TSP代价估计到严格优于$2$的因子内。我们表明，如果输入是诱导底层度量的加权图的所有边的流，则对于任意$\varepsilon > 0$，任何一遍$(2-\varepsilon)$-近似TSP代价需要$\Omega(\varepsilon^2 n^2)$空间；另一方面，存在一个$\tilde{O}(n)$空间两遍算法，可将TSP代价近似到1.96的因子内。最后，我们考虑当算法可访问指定所有点间成对距离的矩阵时，将度量TSP代价估计到严格优于$2$的因子内的查询复杂度。对于此模型中的MST估计，已知可通过$\tilde{O}(n/\varepsilon^{O(1)})$次查询实现$(1+\varepsilon)$-近似。我们设计了一种执行$\tilde{O}(n^{1.5})$次距离查询的算法，并在度量已知包含支撑于权-1边上的生成树或算法可访问图的最小生成树时，实现严格优于$2$的近似。