多模式DAE系统的结构分析：结果综述

现代通用物理系统建模语言，如Modelica、Amesim或Simscape，依赖于微分代数方程（DAEs），即形式为 f(\dot{x},x,u)=0 的约束。这极大便利了基于物理第一性原理的建模以及模型复用。在近期工作[RR-9334]中，我们提出了建立基于DAE的物理建模语言编译器与工具开发所需的数学理论。该分析的核心在于所谓*结构分析*，其在编译期的目的是识别欠指定和过指定子系统（若存在），或将模型重写为适于现有DAE求解器的形式，包括模式变更事件的处理。"结构"这一概念针对每种模式和模式变更事件，收集所涉及的变量与方程，以及*潜在方程*（系统中冗余的附加方程），这些是为准备提交给求解器的代码所必需的。DAE*指标*（任何方程可能需微分的最小次数）的概念是此结构分析的一部分。本报告作为[RR-9334]的补充，汇集了结构分析所需的全部背景知识。关于结构分析的知识体系庞大且分散，这也促使我们将其汇集于单一报告中。我们首先阐释方程组结构分析的首要含义，即以其某种通用意义研究其正则性或奇异性。随后简要回顾此背景下使用的图论体系。我们发展了一些拓展，据我们所知尚无任何文献提及，即带存在量词的方程组之结构分析。对于DAE系统的结构分析，我们聚焦于John Pryce的Sigma方法，对其加以总结并推广至非方阵系统。本报告强调了这些工具与方法在[RR9334]中的用途。