Steklov 凸化与求解多元四次多项式全局优化的轨迹方法

Steklov 函数 $\mu_f(\cdot,t)$ 被定义为在定义域每一点处利用大小为 $t>0$ 的窗口对连续函数 $f$ 进行平均。传统上它用于以较小的 $t$ 值平滑逼近 $f$。本文中，我们首先给出当 $f$ 为多元四次多项式时 $\mu_f$ 的简洁且有用的表达式。随后我们证明，对于足够大的 $t$，$\mu_f(\cdot,t)$ 是凸的；换言之，$\mu_f(\cdot,t)$ 使 $f$ 凸化。我们提供了一个易于计算的 $t$ 的公式，使 $\mu_f$ 对特定类别的多项式实现凸化。我们提出一种算法，通过涉及 $\mu_f$ 的常微分方程（ODE）构造一条轨迹 $x(t)$，该轨迹从凸化后 $f$ 的极小点出发，终止于 $x(0)$（即 $f$ 的全局极小点的估计）。对于一类四次多项式，我们给出了包含其所有全局极小点的球半径估计。最后，我们通过大量计算实例说明了本方法的工作过程。