物理信息神经网络的统计学习分析

我们从统计学习视角研究了物理信息神经网络（PINNs）在初始值和边界值问题（IBVP）中的训练和性能。具体而言，我们限制于采用硬初始值和边界条件约束的参数化方法，并将估计 PINN 参数的问题重新表述为统计学习问题。从这个角度看，针对 IBVP 残差的物理惩罚项可以更好地理解——它不仅仅是正则化项，更是来自无限来源的间接数据的来源，而学习过程则是通过最小化真实分布与 PINN 分布之间的 KL 散度，来拟合 PINN 残差分布 $p(y \mid x, t, w) q(x, t)$ 与真实数据生成分布 $\delta(0) q(x, t)$。此外，这一分析表明，物理信息学习使用 PINNs 是一种奇异学习问题，我们运用奇异学习理论工具——即所谓的局部学习系数（Lau 等人，2025）——来分析通过随机优化获得的 PINN 参数估计，这是针对热方程 IBVP 进行的。最后，我们讨论了这一分析对 PINNs 预测不确定性定量化以及 PINNs 外推能力的影响。