函数型数据的统计推断

随着现代技术的发展，函数型数据在许多科学领域中被频繁观测到。分析此类函数型数据的一种流行方法是“先平滑，后估计”。也就是说，关于函数型数据的统计推断（如估计和假设检验）是基于用某种平滑技术获得的重构函数来替代底层的个体函数进行的。然而，关于这种替代效应对函数型数据分析的影响知之甚少。本文在使用局部多项式核（LPK）平滑技术进行个体函数重构时研究了这一问题。我们发现，在一些温和条件下，替代效应在渐近意义上可以忽略。基于此，我们构建了基于 LPK 重构的估计量，用于估计函数型数据集的均值、协方差和噪声方差函数，并推导了它们的渐近性质。我们还提出了一种 GCV 准则，用于为 LPK 重构选择良好的带宽。当均值函数也依赖于某些与时间无关的协变量时，我们考虑了一个函数型线性模型，其中均值函数与协变量呈线性关系，但协变量效应是时间的函数。我们也构建了用于估计协变量效应和协方差函数的基于 LPK 重构的估计量，并推导了它们的渐近性质。此外，针对关于协变量效应的一般假设检验问题，我们提出了一种基于$L^2$范数的全局检验统计量，并推导了其渐近随机表达式。通过模拟研究，调查了由所提出的 GCV 准则选择的带宽对 LPK 重构精度和均值函数估计量的影响。最后，通过应用于气候学中收集的真实函数型数据集，说明了所提出的方法。