具有不可分函数的近似消息传递的状态演化

给定高维数据矩阵 ${\boldsymbol A}\in{\mathbb R}^{m\times n}$，近似消息传递（AMP）算法通过迭代应用 ${\boldsymbol A}$ 或 ${\boldsymbol A}^{{\sf T}}$ 以及取决于特定应用的合适非线性函数，构造由 $t\in\{0,1,2\dots\}$ 索引的向量序列 ${\boldsymbol u}^t\in{\mathbb R}^n$、${\boldsymbol v}^t\in{\mathbb R}^m$。这种方法的一些特例已在其他应用中开发，用于压缩感知重建、稳健回归、贝叶斯估计、低秩矩阵恢复、相位恢复和图中的社区检测。对于某些类别的随机矩阵 ${\boldsymbol A}$，AMP 在高维极限 $m,n\to\infty$ 下具有渐近精确的描述，即所谓的“状态演化”。早期的工作（在某些正则性条件下）建立了可分非线性的状态演化。然而，实证工作表明有几个重要的应用需要不可分函数。在本文中，我们将状态演化推广到 Lipschitz 连续的不可分非线性，适用于高斯矩阵 ${\boldsymbol A}$。我们的证明利用了 Bolthausen 条件技术以及几个近似论证。特别是，我们引入了一种改进的算法（称为 LAMP，即 Long AMP），该算法具有独立的意义。