基于量化张量列的多尺度椭圆方程稳定全场仿真

本文提出一种基于量化张量列 (QTT) 的原创求解器，用于求解具有各向异性系数场的线性椭圆方程，能够实现极细网格。该求解器在维度 $d=2$ 和 $d=3$ 时，可实现 Degrees of Freedom (DoF) 数量比经典求解器高出多达 $20$ 个数量级，同时在 $\LL^2$ 范数下准确恢复解及其梯度。为处理如此庞大的数据量，求解器关键依赖于 QTT 的指数压缩特性。这显著优于现有文献中已有方法。求解器的核心构件在于引入包含 Helmholtz--Leray 投影器的对梯度未知变量的罚化项。由于 Helmholtz--Leray 投影器的表达式原因，经过罚化的方程在傅里叶空间中求解。随后通过 Green 算子获得原始解。求解器的一个核心特性是其对网格大小是无条件稳定的。基于数值证据及数学分析，我们展示可获得可靠的梯度和解，并由所提出的后验误差估计器保证。作为示例，我们成功求解了一个在三维空间中具有 $10^{37}$ 个虚拟自由度的椭圆方程。