ε-核的稳定性

给定 |R^d 中 n 个点的集合 P，一个 ε-核 K ⊆ P 在相对 (1-ε) 因子内近似 P 在每个方向上的方向宽度。本文研究了在动态插入和删除 P 中的点以及改变近似因子 ε 的情况下，ε-核的稳定性。在第一种情况下，如果从 P 中插入或删除一个点时，K 中最多有 O(1) 个点发生变化，则称动态维护 ε-核的算法是稳定的。我们描述了一种算法，可以在每次更新时以 O(1/ε^{(d-1)/2} + log n) 的时间维护大小为 O(1/ε^{(d-1)/2}) 的 ε-核。我们的算法不仅维护了一个稳定的 ε-核，其更新时间也快于任何已知的维护大小为 O(1/ε^{(d-1)/2}) 的 ε-核的算法。接下来，我们证明如果 P 存在大小为 k 的 ε-核（k 可能远小于 O(1/ε^{(d-1)/2})），那么 P 存在大小为 O(min {1/ε^{(d-1)/2}, k^{⌊d/2⌋} log^{d-2} (1/ε)}) 的 (ε/2)-核。此外，存在 |R^d 中的点集 P 和参数 ε > 0，使得如果 P 的每个 ε-核的大小至少为 k，那么任何 (ε/2)-核的大小为 Ω(k^{⌊d/2⌋})。