Ahlfors-Hopf 方程的可微解

在本文中，我们推进了关于均值失真问题的极值函数边界值问题及其关联Teichm"uller空间的研究，这些空间在经典的极值准共形映射与通过极值Dirichlet能量调和映射（更近期的方法）之间进行插值。在本文中，我们关注Ahlfors-Hopf微分方程：\n$$\Phi=\mathcal{A}(\mathbb{K}(w,h))h_w\,\overline{h_{\overline{w}}}\, \eta(h),$$\n其中 $h=f^{-1}$ 是极值映射 $f$ 的伪逆，用于问题\n$$\inf_{f:\mathbb{D}\to\mathbb{D}}\int_\mathbb{D} \mathcal{A}(\mathbb{K}(z,f)) \; dz, \quad\quad \mathbb{K}(z,f) = \frac{|f_z|^2+|f_{\overline{z}}|^2}{|f_z|^2-|f_{\overline{z}}|^2}.$$\n其中该最小值是在满足边界条件 $f|\mathbb{S}=f_0$（通常为准对称屏障函数）的有限失真同胚映射 $f:\overline{\mathbb{D}}\to\overline{\mathbb{D}}$ 范围内取的。在内变分方程（作为Euler-Lagrange方程的类比）中，我们显示 $\Phi$ 在极值点上为全纯函数。利用Ahlfors-Hopf微分，我们证明了极值点 $f$ 在 $\mathbb{D}$ 中为局部可微，从而解决了一些猜想[16]。