Bidisk 上的 Clark 单位算子及其 Taylor 联合谱

我们为 bidisk 上的由内函数 $\phi$ 关联的模型空间 $K_{\phi}$ 上的驻留压缩移位算子发展出 Clark 理论，其在与经典一维版本相比既有相似之处也有显著差异。我们首先识别嵌入算子 $J_{\alpha} \colon K_{\phi}\to L^2(\sigma_{\alpha})$ 的伴随算子作为 Clark 测度 $\sigma_{\alpha}$ 的加权 Cauchy 变换。在自然假设下（其中之一通常包括 $\phi$ 为有理内函数的情况），我们获得的是 $K_{\phi}$ 上的 commuting unitaries，这些 unitaries 是（通常是高维）压缩移位算子 $K_{\phi}$ 的扰动。在证明这些 unitaries 与 $L^2(\sigma_\alpha)$ 上的坐标函数乘法等价的基础上，我们建立了一系列相关性质和简化结果。最终，我们表明这些 Clark unitaries 的 Taylor 联合谱与 $\phi$ 为有理内函数时的水平集一致。