图的近似量子 3-着色及量子 Max 3-Cut 问题

我们证明，对于每个同步非局域游戏 $\mathcal{G}=(I,O,\lambda)$，其中 $|I|=n$ 且 $|O|=m \geq 3$，都存在一个关联图 $G_{\lambda}$，使得该游戏 $\mathcal{G}$ 的近似获胜策略与 $G_{\lambda}$ 的 3-着色游戏的近似获胜策略相互保持。即，使用类似于作者（Ann. Henri Poincar\'{e}, 2024）中之前工作的图，任何针对 $\text{Hom}(G_{\lambda},K_3)$ 且以均匀概率分布在边上获胜概率为 $1-\varepsilon$ 的同步策略，都会产生一种在同一模型中以至少 $1-h(n,m)\varepsilon^{\frac{1}{2}}$ 的概率获胜游戏 $\mathcal{G}$ 的策略，其中 $h$ 是 $n$ 和 $2^m$ 的多项式。作为应用，我们证明量子 3-着色的间接保障问题是不可判定的。此外，我们证明存在 $\alpha \in (0,1)$，使得确定非交换 Max-$3$-Cut 的图是否小于 $\alpha |E|$ 是 RE-hard 的，从而对 Culf、Mousavi 和 Spirig（arXiv:2312.16765）提出的问题给予了肯定回答，并为非交换 Max-$3$-Cut 问题提供了明确的可计算性间隙证据。我们还证明存在某个 $\alpha \in (0,1)$，使得确定图的非交换（分别为交换算子框架）版本的 Max-$3$-Cut 在 $\alpha$ 因子内是否可计算是不可计算的。所有这些结果都避免使用唯一游戏猜想。