超图边扩张的拉普拉斯与随机扩散过程的谱性质
离散数学
2015-10-07 v1
摘要
近期有工作[Louis STOC 2015]分析了超图关于边扩张的谱性质。具体而言，在超图上定义了一种扩散过程，使得在每个超边内，测度从具有最大加权测度的节点流向具有最小加权测度的节点。该扩散过程决定一个拉普拉斯算子，其谱性质与超图的边扩张性质相关。有人建议在上述扩散过程中，在每个超边内，测度应在完全二部图中均匀地从具有最大加权测度的节点流向具有最小加权测度的节点。然而，我们发现该方法存在一些技术问题。首先，扩散过程不能良定义。其次，所得拉普拉斯算子不具有所声称的谱性质。在本文中，我们表明为了使扩散过程良定义，上述两组节点之间的测度流必须在不同超边间仔细协调，由此可唯一确定一个拉普拉斯算子。由于该拉普拉斯算子是非线性的，我们必须利用扩散过程的其他性质来恢复关于所得拉普拉斯算子“第二特征值”的谱性质。此外，我们表明在当前框架下高阶谱性质一般不能成立。
引用
@article{arxiv.1510.01520,
title = {Spectral Properties of Laplacian and Stochastic Diffusion Process for Edge Expansion in Hypergraphs},
author = {T-H. Hubert Chan and Zhihao Gavin Tang and Chenzi Zhang},
journal= {arXiv preprint arXiv:1510.01520},
year = {2015}
}