由有限群上的测度确定的自由词的一些轨道

自由群 $F$ 中的每个字都以自然的方式在每个有限群上诱导一个概率测度。两个在所有有限群上诱导相同测度的字是否必然属于 $\mathrm{Aut}F$ 的同一轨道，这是一个开放问题。该问题的一个特殊情形，即其中一个字是本原字 $x$ 时，已由第三作者和 Parzanchevski [arXiv:1202.3269] 给出了肯定回答。在此，我们将该结果推广到其中一个字为 $x^d$ 或 $\left[x,y\right]^{d}$（其中 $d\in\mathbb{Z}$ 为任意整数）的情形。