简单布尔二次多面体扩展的一些特性

继 Padberg 关于布尔二次多面体$BQP$及其线性规划松弛$BQP_{LP}$的开创性工作之后，我们考虑一种自然扩展：$SATP$和$SATP_{LP}$多面体，其中$BQP_{LP}$是$SATP_{LP}$面的投影（而$BQP$是$SATP$面的投影）。我们研究整数识别问题：确定线性目标函数的最大值是否在多面体的整数顶点处取得。3-SAT 问题的各种特殊实例，如 NAE-3-SAT、1-in-3-SAT、加权 MAX-3-SAT 等，可以通过在$SATP_{LP}$上进行整数识别来求解。我们描述了$SATP_{LP}$的所有整数顶点。与$BQP_{LP}$类似，多面体$SATP_{LP}$具有 Trubin 性质，即为准整数（$SATP$的 1-骨架是$SATP_{LP}$的 1-骨架的子集）。然而，与$BQP$不同，$SATP$的所有顶点并非两两相邻，$SATP$的直径等于 2，且其 1-骨架的团数在维度上是超多项式的。已知$BQP_{LP}$的分数顶点是半整数的（取值为 0、1 或 1/2）。我们表明，$SATP_{LP}$分数顶点的分母可以取任意整数值。最后，我们描述了在约束目标函数下，$SATP_{LP}$上整数识别的多项式可解子问题。基于此，我们解决了一些边约束二分图着色的情况。