用隔离割求解 k-终端割的 (k-1)-稳定实例

k-终端割问题，也称为多路割问题，定义在一个带边权图上有 $k$ 个称为“终端”的不同顶点。目标是从图中移除最小权重的边集合，使得任意一对终端之间不存在路径。该问题是 NP-hard 的。隔离割是分离一个终端与其余部分的最小割。除最大者外所有隔离割的并集是优化 k-终端割的一个 $(2-2/k)$-近似。这是目前已知的唯一不需求解线性规划的 k-终端割近似算法。k-终端割的一个实例是 $\gamma$-稳定的，如果割中的边最多可乘以 $\gamma$ 而不改变唯一最优解。在本文中，我们证明，在 k-终端割的任何 $(k-1)$-稳定实例中，隔离割的源集正是该 k-终端割实例唯一最优解的源集。我们得出结论：该 $(2-2/k)$-近似算法在 $(k-1)$-稳定实例上返回最优解。我们的工作是首个表明该 $(2-2/k)$-近似在一类特殊图上为精确优化算法的结果。我们还表明我们的 $(k-1)$-稳定性结果是紧的。我们构造了 k-终端割问题的 $(k-1-\epsilon)$-稳定实例，其仅有平凡隔离割：即每个终端的隔离割源集仅为终端本身。因此，该 $(2-2/k)$-近似不返回最优解。