求解一类具有联合数值范围约束的新型二次优化问题

我们提出一类二次优化问题的新形式。目标函数 $F(f(x),g(x))$ 由二次函數 $F(z)$ 与两个 $n$ 元二次函数 $z_1=f(x)$ 和 $z_2=g(x)$ 复合给出。此外，它包含关于 $z=(z_1,z_2)^T$ 的一组线性不等式约束，同时具有 $z$ 属于 $(f,g)$ 的联合数值范围的隐式约束。该形式非常一般，涵盖了具有各类单一二次约束（包括不等式型、等式型与区间型）的二次规划。更进一步，“二次复合二次”以及联合数值范围约束共同使我们能将现有未解决（或未被高效解决）的问题纳入新模型。本文中，我们求解了 P$\acute{{\rm o}}$lik 与 Terlaky 提出的二次超曲面相交问题（QSIC），以及 Ye 与 Zhang 提出的在二次约束下最小化二次函数绝对值的问题（AQP）。我们证明，当 $F(z)$ 与联合数值范围约束均为凸时，该凸优化问题的最优值可通过求解一个由 $\mathcal{S}$-过程新发展导出的 SDP 获得。最优解可通过对 $[0,2\pi]$ 执行二分法近似求得。另一方面，若 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的联合数值范围非凸，则 $f(x)$ 与 $g(x)$ 各自的二次矩阵必线性相关的。该线性相关性质使我们能借助初等分析相应求解（QSIC）与（AQP）。