具有快速关联衰减的随机矩阵的矩阵 Dyson 方程解

我们考虑矩阵 Dyson 方程 $-M\left(z\right)^{-1} = z + \mathcal{S}\left(M\left(z\right)\right)$ 的解，其中线性算子 $\mathcal{S}: \mathbb{C}^{N\times N} \rightarrow \mathbb{C}^{N\times N}$ 的矩阵元呈指数衰减。我们证明 $M(z)$ 也具有指数非对角衰减，并且可以表示为系数由 $\mathcal{S}$ 的矩阵元确定的 Laurent 级数。我们还证明了对于具有指数关联衰减的 Hermitian 随机矩阵，经验密度收敛于由 $M(z)$ 得到的确定性密度。这些结果已在 [arXiv:1604.08188] 中用预解式方法证明，这里我们给出通过概念上简单得多的矩方法的另一种证明。