画廊问题的平滑分析

在画廊问题中，给定一个具有 $n$ 个顶点的多边形 $P\subset [0,L]^2$ 和一个整数 $k$。我们期望找到一个大小为 $k$ 的守卫集合 $G$，使得 $P$ 中每个点都能被 $G$ 中的某个守卫看到。形式上，守卫 $g$ 看到点 $p \in P$ 当且仅当线段 $pg$ 完全包含在多边形 $P$ 内。历史与实际经验表明，无理坐标是一种“非常罕见”的现象。我们给出了一个理论解释。除最坏情况分析外，平滑分析因能解释算法在实际中的表现（即便其在最坏情况下表现糟糕）而日益流行。其思想是研究最坏输入经微小扰动后的期望性能。性能以扰动的幅度 $\delta$ 和输入规模来度量。我们考虑了四种不同的扰动模型。我们证明了每个守卫描述最优守卫位置所需的期望比特数关于输入规模和扰动幅度是对数级的。这从理论角度表明，具有低比特复杂度的有理守卫是典型情况。注意，描述守卫位置是证明NP隶属关系的瓶颈。我们结果的意义在于，在典型实例中求解画廊问题无需代数方法。这是首次对一个 $\exists\mathbb{R}$ 完全问题进行平滑分析。