草图SVD：从压缩测量中恢复谱特征
信息论
2012-11-05 v1 数据结构与算法
math.IT
摘要
我们考虑一种流数据模型，其中n个传感器以turnstile模型观测各自的数据流。我们的目标是分析由更新流隐式定义的数据矩阵的奇异值分解（SVD）。数据矩阵的每一列i由传感器i处的更新流给出。我们的方法是对矩阵的每一列进行草图化，形成“草图矩阵”Y，然后计算草图矩阵的SVD。我们证明Y的奇异值和右奇异向量与X的接近，且相对误差较小。我们还相信，该界在非流式和非分布式数据收集设置中具有独立意义。假设数据矩阵X的大小为N×n，对X的每一列进行m次线性测量，我们得到一个较小的矩阵Y，尺寸为m×n。若m = O(k ε^{-2} (log(1/ε) + log(1/δ)))，其中k表示X的秩，则至少以1-δ的概率，Y的奇异值σ'_j满足以下相对误差结果：(1-ε)^{1/2} ≤ σ'_j/σ_j ≤ (1+ε)^{1/2}，与原始矩阵X的奇异值σ_j相比。此外，Y的右奇异向量v'_j满足||v_j - v'_j||_2 ≤ min(sqrt{2}, (ε sqrt{1+ε})/(sqrt{1-ε}) max_{i≠j} (sqrt{2} σ_i σ_j)/(min_{c∈[-1,1]}(|σ_i^2 - σ_j^2(1+cε)|)))，与X的右奇异向量v_j相比。我们将此结果应用于流式图算法，以近似图拉普拉斯算子的特征值和特征向量，当图具有低秩（许多连通分量）时。
引用
@article{arxiv.1211.0361,
title = {Sketched SVD: Recovering Spectral Features from Compressive Measurements},
author = {Anna C. Gilbert and Jae Young Park and Michael B. Wakin},
journal= {arXiv preprint arXiv:1211.0361},
year = {2012}
}