深度算子网络的规模下界

深度算子网络（DeepONet）是一种日益流行的范式，用于在无限维空间中求解回归问题，从而一次性求解一族偏微分方程（PDE）。在这项工作中，我们旨在建立一种前所未有的、依赖于数据的深度算子网络规模下界，以使其能够在含噪数据上降低经验误差。具体而言，我们证明，要在 $n$ 个数据点上获得较低的训练误差，分支网络与主干网络的公共输出维度必须按 $\Omega \left ( \sqrt[\leftroot{-1}\uproot{-1}4]{n} \right )$ 缩放是必要的。这启发了我们利用深度算子网络求解平流-扩散-反应 PDE 的实验，其中我们展示了这样一种可能性：在固定模型规模下，若要利用该公共输出维度的增加而实现训练误差的单调下降，训练数据规模可能至少需要随其呈二次方缩放。