连续字典下离网格混合信号的同步学习

本文中我们观测一组（可能为连续统）被噪声污染的信号。每个信号是属于连续字典的未知数目特征的有限混合。该连续字典由一个实非线性参数参数化。我们假设信号共享底层结构，即每个信号的活跃特征包含于一个有限且稀疏的集合中。我们建立正则化优化问题以同时估计混合中的线性系数与特征的非线性参数。该优化问题由数据保真项与 $(\ell_1,L^p)$ 惩罚项组成。我们称其解为Group-Nonlinear-Lasso，并利用证书函数给出预测误差的高概率界。遵循近期关于离网格方法几何的研究，我们表明只要活跃特征参数间依据某黎曼度量两两分离常数，即可构造此类函数。当信号数目有限且噪声为高斯时，我们利用高斯与 $\chi^2$ 随机过程上确界的尾界，给出 $p=1$ 与 $p=2$ 结果的精细化。当 $p=2$ 时，我们的预测误差达到多任务线性回归模型中Group-Lasso估计量所获速率。此外，当 $p=2$ 时，若所有信号共享大部分非线性参数，这些预测速率快于 $p=1$ 情形。