带尺度的单纯形平坦范数

我们研究多尺度单纯形平坦范数（MSFN）问题，该问题在任意维度有限单纯复形的定向子复形所定义的集合上，计算不同尺度下的平坦范数。我们证明，当同调定义在整数上时，多尺度单纯形平坦范数是NP完全的。我们将多尺度单纯形平坦范数表述为一个整数线性优化问题。根据近期相关问题的结果，当单纯复形满足一个简单的拓扑条件（无相对挠元）时，多尺度单纯形平坦数整数规划可通过求解其线性规划松弛在多项式时间内解决。我们最重要的贡献是单纯形变形定理，该定理指出，可以在约束其质量膨胀的同时，用一个单纯形流来逼近一般流。我们给出了该逼近质量的显式界，表明随着单纯复形的细化，单纯形流会越来越接近原始流。多尺度单纯形平坦范数为利用平坦范数对任意维度的大数据集进行去噪或提取尺度信息开辟了可能性。另一方面，它允许人们运用关于单纯复形的大量算法成果来解决与流相关的更一般问题。