基于 Peano-Baker 级数的灵敏度近似

本文提出了一种数值近似参数依赖常微分方程(ODEs)中灵敏度的新方法。我们的方法面向标准前向与伴随灵敏度分析因计算代价过高而不具实用性的情形,其基于控制理论中的 Peano-Baker 级数。利用该级数,我们构造了灵敏度矩阵 $\mathbf{S}$ 的表示,并由此得到近似 $\mathbf{S}$ 的数值方法。我们证明,在标准正则性假设下,方法的误差尺度为 $\mathcal{O}(\Delta t^2_{\text{max}})$,其中 $\Delta t_{\text{max}}$ 为数值求解 ODE 时所采用的最大时间步长。我们通过来自系统生物学与更经典动力系统的若干数值实验说明了方法的性能。实验表明,相较于前向灵敏度方法,我们的方法在计算时间上有所改善。在涉及随机线性系统的实验中,前向方法所需计算时间约为我们所提方法的 $\sqrt{n}$ 倍,其中 $n$ 为参数空间维数。