各向同性球状致密星团的自相似轨道平均 Fokker-Planck 方程（i）精确的坍缩前解

这是关于致密各向同性星团中恒星分布函数的自相似轨道平均 Fokker-Planck（OAFP）方程系列研究的第一篇。在星团弛豫演化的晚期，标准恒星动力学预言星团以自相似方式演化并形成坍缩核。然而，相应的数学模型——自相似 OAFP 方程——从未在整个能量域 $(-1< E < 0)$ 上被求解。现有基于各类有限差分方法的工作仅在截断域 $-1< E<-0.2$ 上给出解。为拓宽截断域范围，本文采用（高精度且高效的）Gauss-Chebyshev 伪谱方法。我们在整个域上给出了有效数字位数为四位的谱解。此外，该解可化简为半解析形式，其多项式阶数仅为十八，具有三位有效数字。我们还给出了新的本征值：$c_{1}=9.0925\times10^{-4}$、$c_{2}=1.1118\times10^{-4}$、$c_{3}=7.1975\times10^{-2}$ 和 $c_{4}=3.303\times10^{-2}$，分别对应核坍缩率 $\xi=3.64\times10^{-3}$、标度化逃逸能量 $\chi_\text{esc}=13.881$ 和幂律指数 $\alpha=2.2305$。由于整个域上的解对 Chebyshev 多项式阶数不稳定，我们还给出了截断域（$-1< E<E_\text{max}$，其中 $-0.35<E_\text{max}<-0.03$）上的谱解，以说明如何处理该不稳定性。通过以多种方式重构 OAFP 方程，我们提高了谱解的精度，并复现了已有的自相似解，这表明已有解最多仅具有一位有效数字。