Kerr族黑洞的 maximal hypersurfaces及体积问题

在Schwarzschild时空中，Reinhart(1973)证明了超曲面$r_R=3M/2$（下标表示Reinhart）为 maximal 超曲面。该Reinhart半径$r_R$在评估黑洞内部体积方面发挥着关键作用。在本文中，我们找到了Kerr和Kerr-Newman黑洞的 maximal 超曲面。我们在small $a/M$极限下，分别获得Kerr和Kerr-Newman黑洞的Reinhart半径作为极角$\theta$的函数。我们采用两种独立方法：a)Extrinsic curvature迹为零，b)变分方法求得Reinhart半径。我们进一步利用Reinhart半径，在small $a/M$极限和一般电荷$Q$下，对Kerr和Kerr-Newman黑洞的内部体积获得解析表达式。我们定义$\mathcal{\dot{V}}$为内部体积相对于ingoing null坐标$v$变化的速率，并在各种情形下研究其行为，即粒子吸积、Penrose过程、超辐射和Hawking辐射。我们指出，在Penrose过程和超辐射下，参数$\mathcal{\dot{V}}$的变化方式类似于黑洞面积，但在粒子吸积情况下，$\mathcal{\dot{V}}$可根据粒子的运动特性呈现正负变化。我们进一步探讨了$\mathcal{\dot{V}}$在Hawking辐射下的行为。这些结果为探索黑洞体积规律提供了重要且极具趣味性的线索。