单层 PINN 的规模规律与病态现象：网络宽度与 PDE 非线性
机器学习
2026-03-16 v1 数值分析
数值分析
计算物理
摘要
我们在标准非线性 PDE 上建立了单层 Physics-Informed Neural Networks 的经验尺度规律。我们识别出双重优化失效：（i）基线病态，即在固定非线性下，解误差随网络宽度而不减小，远未达到理论逼近界限；（ii）叠加病态，即这种失效因非线性而加剧。我们提供定量证据表明，简单的可分离幂律规律不足够，尺度行为由更复杂的非可分离关系主导。这种失效符合谱偏差概念，即网络在随着非线性加剧而增强的高频解分量方面困难学习。我们表明，优化而非逼近容量是主要瓶颈，并提出一种方法来经验性地测量这些复杂的尺度效应。
引用
@article{arxiv.2603.12556,
title = {Scaling Laws and Pathologies of Single-Layer PINNs: Network Width and PDE Nonlinearity},
author = {Faris Chaudhry},
journal= {arXiv preprint arXiv:2603.12556},
year = {2026}
}
备注
Accepted at the Machine Learning and Physical Sciences Workshop (NeurIPS 2025)