热点分布的空间尺度依赖性

我们考虑 $d$ 维随机场 $\phi(\mathbf{r})$，其大体集中于小型“热点”周围，并具有“权重” $w_i$。这些权重可能具有极宽的分布，以致其均值不存在，或即便存在也无有用估计。在此情形下，大小为 $R$ 的区域内总权重 $W$ 的中位数 $\overline W$ 是对权重的一种信息丰富的刻画。我们由 $\ln \overline W=F(\ln R)$ 定义函数 $F$。若 $F'(x)>d$，热点分布由最大权重主导。当 $R\to \infty$ 时 $F'(x)-d$ 趋于一正常数之情形，热点分布具有一种不同于分形集的标度不变性，我们称之为\emph{超维}。针对随机势中的扩散模型，我们确定了函数 $F(x)$ 的形式。