Stokes矩阵、谱曲线与菱形不等式的WKB渐近分析

我们考虑具有简单极点$A$于$z=0$处和二重极点$u={\rm diag}(u_1, \dots, u_n)$于$z=\infty$的$n \times n$ODE系统。这处于最简单情形，其中系统的单调性数据由上三角和下三角Stokes矩阵$S_\pm$描述，并施加现实条件以致$S_-=S_+^\dagger$。我们研究Stokes矩阵在由广义次子与谱坐标给出的参数化中的主WKB指数的前沿，并指出对于$u$位于 caterpillar 线上（对应于$j=2,\ \cdots, n-1$处$(u_{j+1}-u_j)/(u_j - u_{j-1}) \to \infty$的极限），这些指数的实部由谱曲线$\Gamma(u_{\rm cat}(t), A)$上 certain 循环的周期给出。这些循环对$u$接近 caterpillar 线的情形具有唯一的变形。利用谱网络理论，我们给出$n=2$和$n=3$的精确WKB预测，用于广义次子的渐近分析，以这些循环的周期为参数。Boalch的定理来自泊松几何意味着，主WKB指数的实部满足菱形（或交错）不等式。我们表明，这些不等式与根曲线$\Gamma^r(u, A)$上规范叶面层的有限网的对应关系中，且它们来自相应周期的正性。我们推测类似机制对$n>3$也适用。我们还概述了谱坐标与Goncharov-Shen所讨论的簇结构之间的关系，以及与与一些简单 quiver 相关的四维${\mathcal N}=2$超对称量子场论之间的关系。