关于平方的 S-关键与双关键排列

如果一个排列不包含两个长度大于等于 2 且顺序同构的连续因子，则称其为无平方排列。如果一个排列是无平方的，但向其左侧或右侧添加任意元素扩展后得到的排列不再是无平方的，则称该排列关于平方是双关键的 (bicrucial)。Avgustinovich 等人研究了关于平方的双关键排列，证明了对于 $k\ge 1$，存在长度为 $8k+1, 8k+5, 8k+7$ 的双关键排列。是否存在偶数长度的双关键排列，或长度为 $8k+3$ 的此类排列，此前尚属开放问题。在本文中，我们提供了一种排序编码方法，利用约束求解器 Minion 证明了偶数长度的双关键排列确实存在，且此类最小排列的长度为 32。为了证明 32 是所需的最小长度，我们建立了一个关于以三个单调顺序元素开头的左关键（即不可向左扩展）无平方排列的结果。此外，我们证明了对于 $k=2,3$，长度为 $8k+3$ 的双关键排列存在，而对于 $k=1$ 则不存在。进一步地，通过引入 $P$-关键排列的概念（可扩展至 $P$-关键词），我们将文献中在不同背景下研究的右关键、左关键和双关键排列的概念进行了推广。在 $P$-关键排列的一个特例即 S-关键排列中，我们处理的是那些本身避免禁止模式，但在任何位置扩展后均包含禁止模式的排列。我们证明了关于平方的 S-关键排列存在，且此类最小排列的长度为 17。最后，利用我们的软件，我们生成了大量相关数据，例如表明存在 162,190,472 个长度为 19 的双关键无平方排列。