交换代数、代数拓扑与拓扑谱论的可解释性与可表示性
机器人学
2025-10-29 v2 机器学习
摘要
近年来数学人工智能（AI）呈现快速增长。最成功的 mathematics AI 方法之一是基于持久同调（TDA via PH）的拓扑数据分析（TDA），它通过从复杂数据集中提取多尺度结构特征，提供可解释 AI（xAI）。本文我们考察三种基础数学 AI 方法的可解释性和可表示性：PH、从谱论派生的持久 Laplacian（PL）以及根植于斯坦利-赖斯纳理论的持久交换代数（PCA）。我们将这些方法应用于一组数据，包括几何形状、合成复合体、fullerene 结构和生物分子系统，以检验它们的几何、拓扑和代数属性。PH 通过持久条码捕捉拓扑不变量，如连通分量、环和空洞。PL 通过融合谱信息，量化拓扑不变量、几何刚度和连通性，基于谐和非谐谱。PCA 引入代数不变量，如 graded Betti 数、facet 持久性和 f/h 向量，提供数据在尺度上的组合、拓扑、几何和代数视角。比较分析表明，尽管 PH 提供计算效率和直观可视化，PL 提供了增强的几何灵敏度，PCA 提供丰富的代数可解释性。就这些方法而言，这些方法形成了数学表示的层次结构，为真实数据提供可解释且可泛化的 AI。
引用
@article{arxiv.2510.20974,
title = {Robust Point Cloud Reinforcement Learning via PCA-Based Canonicalization},
author = {Michael Bezick and Vittorio Giammarino and Ahmed H. Qureshi},
journal= {arXiv preprint arXiv:2510.20974},
year = {2025}
}