面向Metric TSP的Held-Karp下界的近似算法

我们提出了一个近似Held-Karp下界的 nearly linear work并行算法。给定一个包含m条边的无向图$G=(V,E)$和$\epsilon>0$，该算法以高概率返回对Held-Karp下界的$(1+\epsilon)$近似解，工作量为$\tilde{O}(m/\epsilon^4)$，深度为$\tilde{O}(1/\epsilon^4)$。虽然已知近十年来存在一个 nearly linear时间的顺序算法（Chekuri和Quanrud'17），但尚不清楚如何同时实现 nearly linear work以及polylogarithmic深度。借助Chalermsook等人'22提出的约简，我们也给出了一个计算$k$边连通生成子图（kECSS）问题的近似分数解的并行算法，具有类似的复杂度。为获得这些结果，我们引入了并行Multiplicative Weights Update（MWU）框架（Luby-Nisan'93，Young'01）的一种核心序列（core-sequence）概念。对于Metric TSP和kECSS问题，核心序列使我们能够利用近似最小割的结构来降低每次迭代的成本和/或迭代次数。通过核心序列实现的加速技术是通用的，与此无关。特别是，它将MWU算法用于 packing/covering LP的迭代复杂度从$poly(\log nnz(A))$降低到核心序列集合基数之积的多项式对数，其中$A$为LP的约束矩阵。对于某些隐式定义的LP，如kECSS LP，这会带来指数级的深度改进。