分布椭圆最优控制问题的鲁棒有限元离散化与求解器

我们考虑具有 $L^2$ 正则化的标准跟踪型分布椭圆最优控制问题及其有限元离散化。我们研究状态 $u_\varrho$ 的有限元逼近 $u_{\varrho h}$ 与期望状态（目标）$\bar{u}$ 之间的 $L^2$ 误差关于正则化参数 $\varrho$ 与网格尺寸 $h$ 的关系，由此得到最优选择 $\varrho = h^4$。结果表明，对于这一正则化参数的选择，我们可以设计简单的类 Jacobi 预条件 MINRES 或 Bramble-Pasciak CG 方法，从而以关于算术运算量和内存需求的渐近最优复杂度求解约化离散最优性系统。理论结果由若干具有不同正则性（包括间断目标）的基准问题所证实。