重访 Hurdle (1973) 中的调度问题：一种新颖数学求解方法及两个扩展

Hurdle (1973) 中的调度问题以一种通用形式提出，同时涉及车辆调度、循环、车队规模确定以及乘客排队。作为一个约束变分问题，它数十年来仍未完全解决。借助图形分析的技术功力，作者揭示了最优调度率的闭式解（尽管关键变量未定），但仅给出了最优车队规模的下界和上界。此外，这种图形分析方法在计算具体调度问题（通常规模较大，例如数百条公交线路）时缺乏高效率。有鉴于此，本文提出一种新颖的数学求解方法，首先将原问题松弛为无约束问题，然后利用变分法求解。相应的 Euler-Lagrange 方程给出了最优调度率的闭式解，Hurdle 的结果是其特例。得益于所提方法，最优车队规模也可解出。本文通过形式化一种求解方法并推广结果，完成了 Hurdle (1973) 的工作。在此基础上，我们进一步对具有多个起点和终点的通用公交线路调度问题以及混合尺寸或模块化公交车的调度问题做了两个扩展。闭式结果亦被获得并带来新见解。其中我们发现，穿梭/接驳线路的解是我们通用公交线路结果的特例。数值算例亦被提供以展示所提方法的有效性与高效性。