按交叉与嵌套数细化的受限排列

设 $st=\{st_1,\ldots,st_k\}$ 为排列上 $k$ 个统计量组成的集合且 $k\geq 1$。若避免 $T$ 的排列集合 $S_n(T)$ 与避免 $T'$ 的排列集合 $S_n(T')$ 上 $st$ 中所有统计量的联合分布相同，则称给定的两排列子集 $T$ 与 $T'$ 为 $st$-Wilf 等价。本文的主要目标是给出 $S_3$ 中所有单模式关于 (cr,nes) 的 Wilf 等价类，其中 cr 与 nes 分别表示交叉数与嵌套数统计量。我们所使用的主要工具之一是双射 $\Theta:S_n(321)\rightarrow S_n(132)$，该双射最初由 Elizalde 与 Pak 在 \cite{ElizP} 中给出。他们证明了双射 $\Theta$ 保持不动点与超升数数目。由于 $\Theta$ 的已有表述并非直接，我们证明其可由递归公式直接定义。继而我们证明它也保持交叉数。鉴于非嵌套排列集合与避免 321 的排列集合相同，双射 $\Theta$ 的这些性质导出了一个与 Randrianarivony 在 \cite{ARandr} 中定义的 q,p-Catalan 数相关的意外结果。