剩余算子与 Dedekind-MacNeille 完备化

有界偏序集带一元运算的算子剩余概念由前两位作者引入。结果表明，在某些情况下，当这些算子被转化为格项且偏序集 ${\mathbf P}$ 被完备化为 Dedekind-MacNeille 完备化 $\BDM(\mathbf P)$ 时，完备格 $\BDM(\mathbf P)$ 关于这些转化后的项成为剩余格。我们证明这尤其对布尔偏序集和相对伪补偏序集成立。更复杂的情况出现在正交模和伪正交模偏序集上。我们展示了哪些算子 $M$（乘法）和 $R$（剩余）在伪正交模偏序集 ${\mathbf P}$ 中产生算子左剩余，并且若 $\BDM(\mathbf P)$ 是正交模格，则转化后的格项 $\odot$ 和 $\to$ 在 $\BDM(\mathbf P)$ 中形成左剩余。然而，确定 $\BDM(\mathbf P)$ 何时为正交模格是一个问题。我们得到了一些伪正交模偏序集的类，其 Dedekind-MacNeille 完备化是正交模格，并引入了所谓的强 $D$-连续伪正交模偏序集。最后我们证明，对伪正交模偏序集 ${\mathbf P}$，Dedekind-MacNeille 完备化 $\BDM(\mathbf P)$ 是正交模格当且仅当 ${\mathbf P}$ 是强 $D$-连续的。