二叉开关树的遥控系统 -- I. 约束与不等式

我们研究了Guidon (2018)引入的树形着色模型，该模型最初基于铁路 yard 的遥控系统类比，铁路 yard 被视为开关树。对于给定的根树，我们形式化了着色的约束，特别是关于最少颜色数以及节点在各颜色中的分布。我们证明，序列 $(a_1,a_2,a_3,\cdots)$，其中 $a_i$ 表示颜色为 $i$ 的节点数，满足一组仅涉及序列 $(n_0,n_1,n_2,\cdots)$ 的不等式，其中 $n_i$ 表示高度为 $i$ 的节点数。通过按深度对节点着色，我们推导出这些不等式也适用于序列 $(d_0,d_1,d_2,\cdots)$，其中 $d_i$ 表示深度为 $i$ 的节点数。