广义 East 过程在 ${\mathbb{Z}}^d$ 上的平衡弛豫：重整化群分析与能量 - 熵竞争

我们考虑一类定义在 ${\mathbb{Z}}^d$ 上的动力学约束相互作用粒子系统，它们在多种启发式的定性和定量方法中起着关键作用，用于描述玻璃态动力学的复杂行为。以速率 1 且独立地在 ${\mathbb{Z}}^d$ 的顶点处，通过投掷一枚 $(1-q)$ 硬币为每个占据变量 $\eta_x\in\{0,1\}$ 提议一个新值。如果当前构型满足特定的局部约束，则接受该提议的移动，否则拒绝。对于 $d=1$，约束要求更新顶点的左侧顶点处存在一个空位。在这种情况下，该过程即为著名的 East 过程。在 ${\mathbb{Z}}^2$ 上，更新顶点的西侧或南侧邻居必须包含一个空位，更高维情形亦类似。尽管这些过程看似简单，但在低空位密度极限 $q\searrow0$（对应于低温物理环境）下，它们表现出相当复杂的动力学行为，具有层级弛豫时间尺度、异质性和普适性。利用重整化群思想，我们首先证明了 ${\mathbb{Z}}^d$ 上的弛豫时间按 East 过程弛豫时间的 $1/d$ 次根缩放，证实了来自大规模数值模拟的指示。接下来，通过仔细分析微妙的能量 - 熵竞争，利用多尺度分析、容量方法和算法构造，我们计算了有限盒子中的弛豫时间。我们的结果确立了动力学异质性以及对边界条件的剧烈依赖性。最后，我们证明了这些过程具有相当强的各向异性性质：从原点的一个孤立空位（种子）在顶点 $x$ 处产生新空位，可能发生在（对数意义上）不同的时间尺度上，这不仅强烈依赖于 $x$ 的 $\ell_1$ 范数，还依赖于其方向。